3.7. Boletín III: Cálculo diferencial de funciones de una variable

3.7.1. Ejercicios básicos

[1] Sea \(f\) la función dada por \(f(x)=5x^2.\)

1. Utiliza la definición de derivada para demostrar que \(f'(x)=10x.\)

2. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(\displaystyle{x=\frac12}.\)

[2] Sea \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \quad \text{si } x \leq -1 \\ ( x+1)^3 + 2x & \quad \text{si } x > -1 \end{cases} \end{split}\]

Averigua si es derivable en \(x = -1\).

[3] Sea \(f\) la función dada por

\[\begin{split} f(x)= \begin{cases} \displaystyle{x+x^2 \sin\left(\frac 1x\right)} & \text{ si } x\neq 0 \\ 0 & \text{ si } x = 0 \end{cases} \end{split}\]

1. Obtén la expresión de \(f'(x)\) para \(x\neq 0\).

2. Calcula \(f' (0)\) usando la definición de derivada; es decir, como límite del cociente incremental.

3. Comprueba que el valor obtenido en el apartado [3.2] no coincide con el resultado de sustituir \(x\) por cero en la expresión hallada en [3.1]. Razona el porqué de estos resultados distintos.

[4] Considera la función \(f\) dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \displaystyle{\frac{1-e^{-x}}{x} } & \quad \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \quad \text{si } x = 0 \end{cases} \end{split}\]

1. Calcula \(f'(x)\) en todos los puntos en los que exista.

2. Calcula \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow -\infty}{f(x)}}\), \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow \infty}{f(x)}}\) y el conjunto \(\textrm{Im}(f)\).

[5] Escribe el método de Newton–Raphson para aproximar \(\sqrt[3]{2}\) partiendo de \(x_0 = 1\). Calcula los dos primeros iterantes.

[6] Para aproximar el valor de la solución de la ecuación \(x^3+2x-2=0,\) en el intervalo \([-2,\, 2],\) vamos a usar el método de Newton-Raphson.

1. Plantea el algoritmo de Newton-Raphson para este caso.

2. Calcula las dos primeras iteraciones usando ese algoritmo. Para ello usa como aproximación inicial el valor \(x_0=0\).

[7] Sea \(f(x) = \displaystyle \arctan \left( \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \right )\). Calcula la recta tangente a la gráfica de \(f\) en \(x = 0\).

[8] Sea la función \(f\) dada por \(f(x) = (4x+1)^{(2+ \sin (x^2))}\). Calcula su derivada en cualquier punto.

[9] Si consideramos la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) dada por

\[\begin{split} f(x)=\displaystyle{\left\{ \begin{array}{ccl} \displaystyle{\frac{\sin^2(3x)}{3x^2}} & si & x\neq 0 \\ \\ \displaystyle{\frac13 }& si & x=0 \end{array} \right. }, \end{split}\]

elige la opción correcta:

1. \(\displaystyle\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=\frac{1}{3} \).

2. No se puede calcular \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow 0}{f(x)}}\).

3. \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow 0}{f(x)}}=3\).

4. Es continua en \(\mathbb{R}\)

[10] Calcula los valores de \(a\) y \(b\) para que

\[ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ax^2+bx+1-e^{2x}}{\sin(x^2)}=1} \]

[11] Sea la función \(f\) dada por \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{2} x |x|\). ¿Cuál es la clase de \(f\)?

[12] Consideramos la función \(f\) dada por

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \sin (x) \, \qquad \text{ si } x \in (-\infty,0) \\ \arctan (x) \,\qquad \text{ si } x \in [0,1] \\ \pi x^3 / 4 \, \qquad \text{ si } x \in (1,+\infty) \end{cases} \end{split}\]

1. Esboza la representación gráfica de \(f\).

2. Determina la clase de \(f\) en \(\mathbb{R}\).

3. Calcula, si es posible, la recta tangente a \(f\) en el punto \(x_0 = 0\).

4. Determina un conjunto de números reales en el que \(f\) sea de clase infinito.

[13] Sea \(f\) la función dada por

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} + 1 & \quad \text{si } x \in (0,1) \\ \alpha x^2 + \beta x + 1 & \quad \text{si } x \in [1,2) \end{cases} \end{split}\]

1. Determina \(\alpha\) y \(\beta\) para que \(f\) sea derivable en \((0,2)\).

2. ¿Qué condiciones deben verificar \(\alpha\) y \(\beta\) para que \(f\) tenga un mínimo relativo en el punto \(x=1\)?

[14] Calcula los extremos relativos, y absolutos si existen, de la función definida en el intervalo \(\left [ -\frac{1}{2} , \frac{3}{2} \right ]\) por \(f(x) = x^2 - 2|x| + 2\).

[15] Considera la función \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por \(\displaystyle{f(x)=\frac{|x|}{e^{x-1}}}\).

1. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.

2. Esboza la gráfica de \(f\). Para ello calcula sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. Determina también su(s) intervalo(s) de concavidad y/o convexidad.

3. Determina los extremos absolutos de \(f\).

[16] Demuestra que la ecuación \(x^4-4\,x^3-1=0\) tiene una única raíz en el intervalo \([4,5]\).
Plantea el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación del apartado anterior. Partiendo de \(x_0=4\), obtén la aproximación \(x_1\) a mano y la aproximación \(x_7\) utilizando Python.

[17] ¿En qué intervalo es creciente la función \(f\) dada por \(f(x)=x^3e^x\)? ¿Es cóncava o convexa en ese intervalo? Esboza su gráfica.

[18] Halla la condición que debe cumplir \(\lambda\) para que el polinomio \(x^4 + x^3 + \lambda x^2\) sea cóncavo en algún intervalo. Determina ese intervalo en función de \(\lambda\).

[19] Encuentra un polinomio cúbico sin extremos locales pero con punto de inflexión y tangente horizontal en \(P=(1,\, 20)\).

[20] Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y creciente. ¿Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación?
Esboza la gráfica de una función cuya pendiente sea siempre positiva y decreciente. ¿Conoces alguna función elemental que sea ejemplo de esta situación?

[21] Un rectángulo cuya base está en el eje de abscisas tiene sus dos vértices superiores en la parábola \(y = 12 - x^2\). ¿ Cuál es la mayor área que puede tener ese rectángulo? Indica sus dimensiones.

[22] Sabiendo que \(p(x)=5+(x+1)^2+3(x+1)^3\) es el polinomio de Taylor de tercer orden centrado en \(x_0=-1\) de una función \(f,\) calcula \(f(-1),\) \(f^\prime (-1)\) y \(f^{\prime \prime}(-1).\) Justifica la respuesta.

[23] Consideramos la función \(f\) definida mediante \(f(x)=\ln(1+x)\).

1. Calcula el polinomio de McLaurin (es decir, el polinomio de Taylor con \(x_0=0\)) de orden dos relativo a \(f\).

2. Utiliza este polinomio para aproximar el valor de \(\ln(1.1)\), acotando el error cometido.

[24] Construye el polinomio de Taylor, \(p\), de primer orden para la función \(g(x) = \sin (x)\), centrado en el punto \(x_0 = \pi/2\).

Ahora considera la función \(f\) definida como sigue:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \sin (x) \quad & \quad \quad \text{si } x \leq \pi/2 \\ p(x) \quad & \quad \quad \text{si } x > \pi/2 \end{cases} \end{split}\]

siendo \(p\) el polinomio construido en el apartado anterior. ¿Cuál es la clase de \(f\) en \(\mathbb{R}\)?

[25] Determina el polinomio de Taylor de orden dos de la función \(f(x)= \arcsin(x)\) relativo al punto \(x_{0}=0\).
Utiliza el polinomio anterior para obtener, de forma aproximada, el ángulo cuyo seno es \(\frac{1}{10}\).

[26] Sea la función dada por

\[\begin{split} \begin{array}{cccl} f: & \mathcal{D}om(f) \subset \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \rightsquigarrow & f(x) = \dfrac{x^2}{e^x} \end{array} \end{split}\]

1. Calcula el dominio de \(f.\)

2. Calcula los extremos absolutos de \(f\) en el intervalo \([0,10]\), justificando previamente su existencia.

3. Calcula los extremos absolutos de \(f\) en su dominio.

3.7.2. Ejercicios complementarios

[1 C] Si la recta tangente a la gráfica de la función \(y = f(x)\) en el punto \((4,3)\) pasa por el punto \((0,2)\), calcula el valor de la función \(f\) y su derivada en el punto cuya abscisa es \(x = 4\).

[2 C] Aproxima la solución de \(x^3 - x - 1 = 0\) en \([1.3,\, 1.4]\) mediante el método de Newton-Raphson, partiendo de \(x_0 = 1\) y realizando tres iteraciones.

[3 C] Encuentra los números \(a\) y \(b\) tales que \(\,\,\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{\sqrt{ax+b}-2}{x}}=1}.\)

[4 C] Calcula el límite:

\[ \displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x}.} \]

[5 C] Se considera la función \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) dada por:

\[\begin{split} f(x)= \begin{cases} \displaystyle{\dfrac{1-\cos (x)}{x^2}} & \text{ si } x\neq 0 \\ \lambda & \text{ si } x = 0 \end{cases} \end{split}\]

1. Calcula el valor de \(\lambda\) para el cual \(f\) es derivable en \(x=0\).

2. Calcula \(f^{\prime \prime}(0)\) para el valor de \(\lambda\) hallado en el apartado anterior.

[6 C] Sea \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definida como \( f(x) = \begin{cases} \displaystyle 1 - \frac{x^2}{2} & \text{ si } x < 0 \\ \cos (x) & \text{ si } x \geq 0 \end{cases} \).
¿Cuántas veces es \(f\) derivable en \(x_{0}=0\)?

[7 C] Comprueba que la función \(F\), dada por \(F(x) = \dfrac{1}{4} x^2 - \ln x\), tiene un mínimo relativo, \(x_{\min}\), en el intervalo \((1,3)\).
Utiliza el algoritmo de dicotomía, partiendo de \(a = 1\) y \(b = 3\), para aproximar \(x_{\min}\) con un error menor que \(\frac{1}{7}\).

[8 C] Consideramos la ecuación , \(x e^{-x} = e^{-3}\).

1. Comprueba que tiene exactamente dos soluciones en \(\mathbb{R}\).

2. Plantea el método de Newton-Raphson a partir de un punto en el intervalo \([2,5]\). Calcula \(x_2\) a partir de \(x_0 = 2\).

[9 C] Se desea construir un arco que describa la curva dada por \(f(x) = \sqrt{1-x^2}\). Para facilitar la construcción, se propone aproximar dicha función por un polinomio de Taylor de segundo orden centrado en \(a = 0\). Calcula dicho polinomio y aproxima \(f(1)\).

[10 C] Durante la tos, el diámetro de la tráquea disminuye. La velocidad \(v\) del aire en la tráquea durante la tos viene relacionada con el radio, \(r,\) mediante la ecuación:

\[ v = Ar^2 (r_0-r) \quad , \qquad A > 0 \]

donde \(r_0\) es el radio en estado de relajación.

1. Halla el radio de la tráquea cuando la velocidad es máxima, así como esta velocidad.

2. Justifica la existencia de un mínimo. Calcúlalo.

[11 C] Halla el radio y la altura de una lata cilíndrica de refresco de \(33\) cm\(^3\) que minimice la cantidad de material utilizado para su construcción (supón que el grosor del material empleado es uniforme en toda la lata y despreciable).

[12 C]
Sea la función real \(f\) dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin( x)}{x} - 1 \quad & \quad \quad \text{si } x < 0 \\ & \\ x^3 e^{-x^2} \quad & \quad \quad \text{si } x \geq 0 \, . \end{cases} \end{split}\]

1. Estudia la derivabilidad de \(f\) en \(\mathbb{R}\).

2. Calcula el polinomio de Taylor de segundo orden de la función \(f\) en un entorno de \(x_0 = 1\).

3. Determina razonadamente los extremos absolutos de \(f\) en \([0,+\infty)\).

[13 C] Sea la función \(f\) dada por:

\[\begin{split} f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin (x)}{x} \, & \quad \quad \text{si } x < 0 \\ 2 - \cos(x) \, & \quad \quad \text{si } x \geq 0 \, . \end{cases} \end{split}\]

1. Estudia la continuidad de \(f\) en \(\mathbb{R}\).

2. Determina, si existe, \(f'(0)\). En caso afirmativo, razona si \(f\) es de clase uno en \(\mathbb{R}\).

3. Calcula el polinomio de Taylor de segundo grado de \(f\) en \(x = -\pi\).

[14 C] Llamamos \(f(x) = \sqrt{x+1}\).

1. Halla el polinomio de Taylor de cuarto orden de \(f\) en \(x = 0\).

2. Aproxima \(\sqrt{1.02}\) con el polinomio de Taylor de segundo grado y acota el error cometido.

[15 C] Obtén el polinomio de McLaurin (Taylor, con \(x_{0}=0\)) de orden menor o igual que \(n\) relativo a \(f(x) = (1-x)^{\alpha}\), con \(\alpha \in \mathbb{R}\).

[16 C] Construye el polinomio de Taylor de grado menor o igual que \(3\) para la función \(f(x)=x^2 - 2x + 1\) en un entorno del punto \(x_{0} = 1\).

[17 C] Determina los extremos absolutos de la función \(f(x)=|16-x^2|\) en el intervalo \([-5,8]\).

[18 C] Queremos aproximar una raíz de la ecuación \(x^3 -x^2 + 2 = 0\).

1. Justifica la existencia de raíces de la función \(f\) dada por \(f(x)=x^3 -x^2 + 2\) en el intervalo \([-2,3]\).

2. Partiendo de \(x_0=2\) calcula, mediante el algoritmo de Newton, \(x_1\). Utiliza dos cifras decimales correctas en tus cálculos.