3.8. Ejercicios que han caído otros años en el tercer control de prácticas

[1] Consideramos la función \(f\) dada por \(f(x) = \left|\log(x)\right| - \frac{1}{2}\) en el intervalo \(I=[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]\).

• Represéntala con Matplotlib.

• Comprueba (ayudándote de Python) que tiene una raíz en \(I\).

• Para nota: ¿podrías demostrar que esa raíz es única?

• Aproxímala utilizando el método de Newton-Raphson tomando \(x_{0}=\frac{8}{10}\) con un error relativo menor que \(1.e-9\).

• Aproxímala utilizando el método de Newton-Raphson tomando \(x_{0}=\frac{12}{10}\) con un error relativo menor que \(1.e-9\).

• ¿Podrías explicar que ha pasado en los dos apartados anteriores?

• Calcula, ayudándote de Python, el máximo y el mínimo absoluto de \(f\) en \(I\).

[2] Consideramos la función \(f\) dada por \(f(x) = e^{\left|\sin(x)\right|} - 2\) en el intervalo \(I=[1.8,3.6]\).

• Represéntala con Matplotlib.

• Comprueba (ayudándote de Python) que tiene una raíz en \(I\).

• Para nota: ¿podrías demostrar que esa raíz es única?

• Aproxímala utilizando el método de Newton-Raphson tomando \(x_{0}=1.8\) con un error relativo menor que \(1.e-9\).

• Aproxímala utilizando el método de Newton-Raphson tomando \(x_{0}=3.6\) con un error relativo menor que \(1.e-9\).

• ¿Podrías explicar que ha pasado en los dos apartados anteriores?

• Calcula, ayudándote de Python, el máximo y el mínimo absoluto de \(f\) en \(I\).

[3] Consideramos la ecuación \(\sin (3x) = 0\)

• Prueba que tiene una única raíz en el intervalo \([\pi/6, \pi/2]\).

• Aproxima, con una tolerancia inferior a \(10^{-10}\), una raíz de la ecuación mediante el algoritmo de Newton, partiendo de \(x_0 = 1\) y de \(x_0 = \pi / 6\). El código deberá ir mostrando las imágenes de las aproximaciones que va calculando. Interpreta las salidas obtenidas.

[4]

• Calcula el polinomio de MacLaurin de grado cinco de la función \(f(x)=e^{x}\) y utilízalo para calcular una aproximación del número \(r=e\). Acota el error cometido en la aproximación. Dibuja la función \(f\) y el polinomio de interpolación en el intervalo \([-4,4]\).

  Debes resolver todo a mano y en Python. La representación gráfica es suficiente hacerla con Python.

• Aproxima numéricamente la raíz del polinomio que has construído en el apartado anterior con el método de Newton-Raphson partiendo de cero como aproximación inicial. Calcula la primera iteración del método a mano.

[5] Consideramos la función \(f\) dada por \(f(x) = x\log(x)\), en el intervalo \(I=[0,2]\).

• Represéntala con Matplotlib.

• Calcula su polinomio de Taylor centrado en \(x_{0}=1\) de orden \(n=10\).

• Calcula su polinomio de Taylor centrado en \(x_{0}=0.5\) de orden \(n=10\).

• Calcula su polinomio de Taylor centrado en \(x_{0}=1.25\) de orden \(n=10\).

• Aproxima con los polinomios anteriores el valor \(\log\left(\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\). Compara los resultados con la solución exacta. ¿Qué conclusiones sacas?

• Toma el polinomio que haya dado mejor resultado en el apartado anterior y súbelo a orden \(n=20\). Con él, vuelve a aproximar \(\log\left(\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\). ¿Qué conclusiones sacas?

[6]

• Sea \(f(x)=\log\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)\). Calcula el dominio de \(f\). Estudia la concavidad y la convexidad de \(f\).

  Debes resolver todo a mano. Puedes ayudarte de Python para comprobar los resultados.

• Calcula el polinomio de Maclaurin de grado dos de la función \(f\) y utilízalo para calcular una aproximación del número \(r=\log(3)\). Acota el error cometido en la aproximación. Dibuja la función \(f\) y el polinomio en el intervalo \((-1,1)\). Nota:

  Debes resolver todo a mano y en Python. La representación gráfica es suficiente hacerla con Python.

[7] Sea \(f(x) = \sin {(x -\pi)}\). Para \(x_0 = 3\) se pide:

• Aproxima \(\sin {(4 - \pi)}\) mediante \(P_6\,\), polinomio de Taylor de orden 6 centrado en \(x_0\). Muestra al menos 6 cifras decimales.

• Obtén el resto de Taylor para dicha aproximación y acótalo.